Overflade

Ib Toubro Juli 25, 2016 O 56 0
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
)

I matematik, et område er en geometrisk form med ingen tykkelse, idet kun to dimensioner. En overflade kan være fladt eller buet. Det kan være begrænset eller ubegrænset, åben eller lukket.

Der er forskellige definitioner af matematiske overflade: disse er alle af dem lukkede i begrebet "abstrakt overflade" og differentiable manifold. I de mest almindelige tilfælde udtrykket bruges til at henvise til overflader i tredimensionalt rum.

Definition

Uformelt en overflade er et geometrisk objekt uden ideelle tykkelse, har to dimensioner. Nogle reelle objekter nærme sig dette abstrakte begreb, for eksempel en meget tynd folie.

Formelt definitionen af ​​overfladen i rummet kræver matematiske begreber nontrivial egen differential geometri

En delmængde af euklidisk rum er en tredimensional overflade, hvis for hvert punkt er indeholdt i eksisterer et åbent kvarter og en differentiabel funktion

som skærer netop de steder, hvor forsvinder:

og har overalt gradient forskellig fra nul:

Med andre ord, sættet er en overflade, hvis det er lokalt kan udtrykkes som et sted af nuller af en funktion. Betingelsen om, at gradienten er forskellig fra nul, ved at give Dini sætning, at overfladen er en glat objekt ved hvert punkt.

Bygninger

En overflade kan konstrueres på forskellige måder.

Parametrisk formular

En overflade kan konstrueres som billedet af en injektiv differentiable funktion af to variable i virkelige rum tredimensionale euklidiske

hvor er en åben sæt af flyet. For at opnå en glat objekt, er det nødvendigt, at forskellen er også injektiv på noget tidspunkt Med andre ord må det være en dykke.

Med denne konstruktion koordinaterne for punkter på overfladen let udtrykkes af de parametriske ligninger:

variationen af ​​de to parametre i det åbne.

Dette er den definition, som mere egnede til praktiske formål, eftersom den muliggør på en nem måde til beregning af områder og overflade integraler.

Implicit globalt

En overflade kan bygges globalt som nul locus i en enkelt funktion differentiable

kaldet kartesiske ligning. For at opnå en glat objekt, skal gradienten være andet end nul ved hvert punkt i. Bemærk, at den generelle definition af overfladen kræver eksistensen af ​​en sådan funktion kun lokalt.

Graf for en funktion

Grafen for en differentiabel funktion

defineret på en åben sæt af kartesiske plan er en overflade. Overfladen kan angives implicit ved ligningen

I tilfælde, hvor domænet er hele gulvet, er derfor overfladen i stedet for nuller af funktionen implicit global

Overfladen kan også beskrives på parametrisk form ved at tage

Mange overflader, er imidlertid ikke graferne for funktioner, for eksempel sfæriske overflade.

Rotation overflade

En overflade af rotation opnås ved at rotere en kurve omkring en akse. Aksen kan være en af ​​de tre kartesiske akser, eller en lige linie.

Grundlæggende begreber

Område

Arealet af en overflade udtrykt i parametrisk form, ved hjælp af en funktion med et domæne er defineret ved hjælp af de værktøjer integralregning på følgende måde:

I formlen er en flere integrale, partielle afledede af funktionen og vektoren produkt. På samme måde defineres integralet af en funktion med overfladen som domænet: dette kaldes fladeintegralet.

Normal

I ethvert punkt af en overflade det kaldes et tangentialplan. Tangenten flyet er beskrevet med de værktøjer, fra algebra og lineær calculus i flere variable.

En normal er en vektor vinkelret på tangentialplan, der enhedslængde. I hvert punkt har to normal, i den modsatte retning.

Krumning

Krumningen er en fundamental egenskab af overflader i rummet. I hvert punkt af overfladen er der to principale krumninger og Gauss krumning er defineret som produktet af disse to mængder.

Gauss krumning kan være positiv, nul eller negativ. I et plan, krumningen er nul, og det er den sædvanlige euklidiske geometri; på buede overflader er positiv eller negativ kan definere ikke-euklidiske geometrier, henholdsvis benævnt elliptisk og hyperbolsk. I disse geometrier, er den sædvanlige euklidiske linje erstattes af de geodætiske kurver på overfladen, der minimerer afstanden mellem to punkter.

Topologiske egenskaber

Topologi er en gren af ​​geometri, der studerer egenskaberne for geometriske objekter, der er uændret, når du laver en deformation uden "rive".

Genre

Den slags en overflade er uformelt "antallet af håndtag", som det indeholder.

Indstillingsmuligheder

En overflade kan indstilles, hvis det har to flader, ellers ikke justeres. I modsætning til, hvad der er foreslået af intuition, er der faktisk områder med kun én flade: prototypen er Mobius strip.

Typer

Algebraiske overflader

En polynomium ligning i tre variabler, såsom

Det definerer en algebraisk overflade. Sikre, at placeringen af ​​nuller er faktisk en glat overflade, differentialligningen skal være forskellig fra nul ved hvert punkt. Men generelt taler generelt om "algebraiske overflade", selv når denne betingelse ikke er opfyldt: i dette tilfælde kan forelægge de nævnte singularitet punkter, der ikke er glat.

Hvis polynomiet er i Første Instans, overfladen er et fly. Kan beskrives overflader med ligninger af 2., 3., 4., 5. klasse kaldes quadrics, kubiske, quartic, quintics og så videre. Den i figuren viste sextic har nogle unikke.

Quadrics

A er en Quadric overflade algebraisk anden grad. Quadrics er klassificeret med værktøjer lineær algebra. De ikke-degenererede quadrics er inddelt i 5 typer:

Ruled Overflader

En overflade rillede hvis det er forening af linjer.

Mindste overflade

En overflade er minimal, hvis det har minimalt areal blandt alle dem, der har en fast bord. Matematisk denne betingelse svarer til den anmodning, at overfladen ikke har noget betyder krumning overalt. I naturen nogle strukturer tendens til at slå sig ned for at minimere området og således danne den minimale overflade.

Lukkede overflader

Et område er lukket, hvis den er begrænset, og ingen grænser, som i en kugle. Med den strenge sprog topologi, er et område, lukket, hvis den er kompakt.

Generaliseringer

Abstrakt overflade

I topologi, en vigtig gren af ​​geometri, studeres en mere generel opfattelse af overfladen. Området undersøgt i dette felt er en mere abstrakt objekt, som "har sit eget liv," ikke nødvendigvis er indeholdt i tredimensionelt rum.

Formelt en abstrakt overflade er en topologisk manifold med Hausdorff dimension 2. Mange abstrakte overflader er representable i rummet, men ikke alle: for eksempel Klein flasken ikke er synligt inde i tredimensionelt rum.

I mange sammenhænge er det mere nyttigt at definere et område som en differentiabel manifold i stedet for topologisk. Forskellen er imidlertid ikke væsentlig.

Nedsænket overflader

En nedsænket overflade er en overflade, der kan selv skærer hinanden. Mere præcist er det et billede af et dyk

af en abstrakt overflade. Det kræver derfor, at har nogen steder differentieret injektiv: denne hypotese sikrer, at både lokalt injektiv, men ikke globalt.

For eksempel er Klein flasken generelt er vist i tredimensionelt rum ved hjælp af en nedsænkning: overfladen er selv-skærer langs en omkreds. En anden nedsænket overflade er overfladen af ​​dreng: i dette tilfælde er en reel projektiv plan, en overflade ikke orientable at som Klein flasken, ikke kan indeholdes i rummet.

Komplekse overflader

I forbindelse med kompleks geometri, en kompleks overflade er en kompleks række dimension 2. Det er et formål helt forskellig fra den sædvanlige overflade, da det har topologisk reelle størrelse 4.

Endelig, afhængigt af kontekst, kan du angive, af udtrykket overfladestrukturer med andre egenskaber end de ovenfor nævnte; For eksempel kan du ringe kortvarigt overflade hyperoverflade i et euklidisk rum, det vil sige en række størrelse mindre end den omgivende plads, undertiden også benævnt fraktale overflader, hvilket indikerer fraktale strukturer konstrueret ud fra en overflade, men som i I sidste ende, betyder det ikke beholde nogen specifik funktion.

Teoremer

Gauss-Bonnet sætningen

Stokes sætning

Topologisk klassificering af overflader

Overfladerne er klassificeret i kompakt topologi mindre end homeomorfi af tre parametre: art, antallet af komponenter i kanten, og justerbarheden.

I topologi er det også ofte betragtes overfladerne af finite type, opnået ved at starte fra den kompakte overflader ved at fjerne et endeligt antal punkter og dermed skabe bites. En overflade med bites aldrig er kompakt. Ligesom de kompakte overflader, er dem af finite type, klassificeret af fire parametre: art, antallet af komponenter, indstillingsmuligheder og antallet af bid.

Sætning af standardisering

  Like 0   Dislike 0
Forrige artikel Arturo Toscanini
Næste artikel Senecio Inaequidens
Kommentarer (0)
Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha